曲线曲面总结 第1篇
直接解析法计算交点。
// Todo
注：这篇文章主要讲一些曲线曲面离散、点线面投影的算法，在文末才简单介绍了直线和圆环面的求交方法。
直线-圆环的求交算法十分简明．如图6所示，圆环中心为 C，A 为中心轴，R 和 r 意义如图所示．空间一点 P，容易求得它离圆环平面（ 过C 点以 A 为法矢的平面） 高度为 h，离中心轴 A 距离为 d，则 P 点在圆环上的充要条件为 ( d － R ) 2 ＋ h 2 ＝ r 2 (d －R)^2 ＋ h^2 ＝ r^2 (d－R)2＋h2＝r2 ,P 点在直线上： P ＝ P （ t ）＝ P 0 ＋ t ∗ V （ 12 ） h ＝［ A ］ ∗ ［ P （ t ）－ C ］（ 13 ） d 2 ＝ ( ∣ P ( t ） − C ∣ 2 － h 2 ) （ 14 ） P ＝ P（t） ＝ P_0 ＋ t * V （ 12）\\ h ＝ ［A］* ［P（ t） － C］ （ 13）\\ d^2 ＝(|P(t）- C|^2 － h^2)（ 14） P＝P（t）＝P0＋t∗V（12）h＝［A］∗［P（t）－C］（13）d2＝(∣P(t）−C∣2－h2)（14） 把（ 13） 、（ 14） 式代入（ 12） 式，得到关于 t 的4次方xxx，解此方xxx即得到直线-圆环的全部交点．
摘要 利用坐标变换的方法,给出了二次曲线和二次曲面求交的解析算法。利用拉格朗日乘子法求解二次 曲线和二次曲面之间的最小距离,给出了曲线与曲面相切的条件。算法表明,坐标变换可以简化求交运算表达式, 使求交算法易于实现。根据得出的相切条件,可以有效地判断曲线、曲面是否有交,对相切情况的计算结果进行修 正,可提高奇异情况下的求交稳定性。算法已在清软英泰公司开发的自主版权3维CAD软件GEMS中得到应用。 关键词:曲线曲面求交;坐标变换;拉格朗日乘子法;最小距离
引言中一些总结的话语：Levin[ 1,2] 用隐式多项式方法表达二次曲面,利 用矩阵的代数运算和参数方xxx求解二次曲面之间的 相交问题,并提出不同坐标系中曲面的表达形式可 通过坐标变换来实现,该方法称为代数法(algeb raic approach)。Miller[ 3~7] 对基本二次曲面(球面、正圆 柱、正圆锥)提出用几何参数(向量、点、标量)表示二次曲面,求解平面与曲面、曲面与曲面之间的相交问题,称为几何法(geometric approach)。Shene和 Johm s tone用几何表示法,研究了退化情况下二次曲 面相交为平面曲线的情况[ 8] 。xxx等用此方法 分别研究了部分二次曲线、四次曲线与二次曲面的 相交情况9] 。 几何法的优点是计算精度高,但对不 同曲线曲面的相交问题,需要分别处理多种情况,使 得xxx序流xxx非常复杂;且不能求解任意位置的曲线 曲面求交问题。代数法表示的优点是可以统一地表 示所要求解的问题,便于编写统一的求交算法,可以 处理任意位置的二次曲面问题,弥补了几何表示法 的不足。但对于一般二次曲线曲面求交,代数法很 难给出解析表达式,需要采用数值方法求解,交叉迭 代是常用的方法。迭代法可以得到曲线曲面交点的 数值解,但存在求解稳定性、求解精度等问题,所以 利用代数方法求解交点的解析解仍然是求交问题的 研究热点。同时,奇异情况(相切和重合)也是在求 交应用中需要特殊处理的问题,常常由于数值求解 精度的限制而导致结果错误。
二次曲线是一个平面曲线。将二次曲线和二次曲面变换到以二次曲线所在平面的局部坐标系下，然后此时局部坐标系下，二次曲线为xoy平面内的曲线，二次曲面与二次曲面有交点必然在xoy平面上，即z坐标=0。 而二次曲面与平面相交，交线最多为二次曲线。是能够解析表达出来的。然后就转化成平面内，两条二次曲线求交的问题。 但是为了避免二次曲线与二次曲线求交点（是一个四次方xxx求解问题），加入了一个最近距离的计算，来判定是否有交点。文中给出了计算最近距离的方法。然后拿了一个圆和圆锥曲面作为实例。 //但是这个地方有一个疑问，一般情况下，二次曲线和二次曲面的最近距离计算应该也不是一个简单的问题吧？所以这个距离判定不好用？但是对于圆和圆锥曲面的最近距离，由于圆的特殊性、圆锥曲面的特殊性，这个距离比较好计算？？？
文中提到：对于奇异情况下切点的求解会出现有两个实数解或没有实数解的情况，可以取计算结果的平均值作为切点坐标。这样能够提高曲线曲面相切的结果的精度。
评论：将二次曲线和二次曲面的求交转换为二次曲线和二次曲线的求交问题，是一个很好的思路。同时，坐标系变换然后做求交处理也是一个简化计算、提高精度和效率的方法。
摘 要：提出了一种基于牛顿迭代法解方xxx组的射线和NURBS曲面求交算法。利用预先计算射线和曲面交点个数最大值，通过折中适应性分割曲面得到迭代初始值，达到了快速计算的效果。同时，解决了射线与NURBS曲面多交点判断、自交点筛选等问题，保证 了交点精度，且不会遗漏交点。 关键词：计算机应用；快速计算；牛顿迭代法；射线追踪；NURBS曲面
雷达散射截面计算(RCS 计算，Radar Cross Section) 分为两部分，一部分是射线追踪计算， 另一部分是耦合效应计算。
曲线曲面总结 第2篇
为什么要引进逐段xxx曲线呢？如上图中的一段xxx曲线，对于这种过于曲折的xxx曲线，我们想通过一系列控制点控制是非常难的，于是人们想到了办法，用较少的几个控制点控制一小段xxx曲线，当想表示的段数足够时，把它们连在一起就是想要的完整的xxx曲线。
如上图中的黑色点就是每段xxx曲线的起止点，而蓝色点则是和黑色起止点相连并控切线方向的点，通过每四个点定义一段xxx曲线，并且最终把它们连起来的方法就是逐段xxx曲线。
逐段xxx怎么确保连续呢？事实上，逐段xxx有许多不同的连续，如上图所示就是逐段xxx的C0连续，它代表只要曲线在中间没有间断，两段曲线都经过一个点(第一段终止点等于第二段起点)。
第二种连续是切线连续，也就是C1连续，两端切线长度要相等，且一阶导数相等。这样不仅能保证几何上的链接，还可以保证光滑。当然我们还有很多其它的连续，比如当二阶导数相等，或者更高阶的导数相等。但在这里我们只介绍这两种。
曲线曲面总结 第3篇
我们用连续可微函数\alpha: I\mapsto \mathbb{R}^3来表示三维空间中的曲线。其中I是实数空间中的一个线段。这里我们取I=[0, \ell]。我们可以将该线段想象成一个粒子从时间t=0时刻到时间t=\ell走过的轨迹。我们记\alpha'为函数\alpha关于时间的导数。下图显示了一个螺旋曲线与其在xxx一点处的导数。
根据微积分的知识，我们知道该粒子走过的线段长度可以被计算为
s(t)=\int_0^t|\alpha'(r)|dr。\qquad () \\
因此，可以看出s是xxx的非减函数，并且s'(t)=|\alpha'(t)|。也就是粒子走过的路xxx随着时间的增加不会减少，并且瞬时增加的速度为s'(t)=|\alpha'(t)|。这里我们主要考虑|\alpha'(t)|\not=0的曲线，并将其命名为正则曲线(Regular Curve)。
(正则曲线) 如果存在t\in [0,\ell]，使得\alpha'(t)=0，则我们将该点称为曲线的奇异点。如果一个曲线上没有奇异点，则我们称该曲线为正则曲线。
在后面的讨论中，我们只关注正则曲线。对于正则曲线，我们有|\alpha'(t)|>0，那么弧长s是xxx的增函数，那么我们也可以将t表示成s的函数，同时使用s来参数化曲线函数\alpha。根据链式法则，我们有
\frac{d\alpha}{ds}=\frac{d\alpha}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}。\qquad () \\
因此，我们有|\frac{d\alpha}{ds}|=1，即\frac{d\alpha}{ds}为单位长度的向量。在后面的描述中，我们用\alpha(s)来表示使用路径长度来参数化曲线，这里我们叫做弧长参数化，而用\alpha(t)来表示使用时间参数化曲线。
例子：我们考虑螺旋曲线
\alpha(t) = (2\sin(t), 2\cos(t), t)。 \\
我们有\alpha'(t)=(2\cos(t), -2\sin(t), 1)。因此，|\alpha'(t)|=\sqrt{4\sin^2(t)+4\cos^2(t) + 1}=\sqrt{5}。因此，弧长s(t)=\int_0^t\sqrt{5}ds = \sqrt{5}t。我们有t=s/\sqrt{5}。所以，利用弧长s重新参数化曲线，我们得到
\alpha(s)=(2\sin(s/\sqrt{5}), 2\cos(s/\sqrt{5}), s/\sqrt{5})。 \\
图中，我们画出了该螺旋曲线，并且标出了在t=2时刻的切线向量。
曲线曲面总结 第4篇
直接解析法计算交线。
二次曲面求交的特殊Case（解析情况）列表： // Todo
思路：
然后分析讨论平面代数曲线 F ( u , v ) = 0 F(u,v)=0 F(u,v)=0的性质。
追踪： 在跟踪之前，对于每一个特征初始点，记录其连接次数，即从该点开始或者终止的单调分枝数。
估算下一个点：用切线、或者用密切圆的方法计算近似点 计算精确的下一个点：
注意：一点想法和改进，这个地方需要两次迭代计算两个最近点，会不会是效率降低？ 我使用的方法是，直接把当前点作为初始值，放入方xxx组中迭代，会得到一个精确交点。这样计算次数会不会少一些？但是存在一种可能，就是可能得到的新的点离当前初值点跑了一些距离。不知道本文中用两个最近点的迭代会不会存在这种问题？
文中说到：跟踪时要 注 意 不 要 进 入 交 线 的另一 分枝 和 重 复 跟 踪 同 一 交线分枝， 算 法可 靠性的关键在于适当控制步长和精度 。
// 这和我当时做求交考虑到的不谋而合。
// 这个地方我当时做求交的时候也考虑到了，为了避免这种情况，会在出参数域的时候做一个判断，当跨出参数域的那一刻，与边界计算出精确的交点，并停止继续计算边界外的交点。
在 曲面 求 交 的 跟 踪 算法 中，主 要 有 三 项关 键 技 术：（1）初 始跟 踪 点集 完 备 性（2） 数 值 方法稳 定 性（3）误差准则一致性。
如果找 到 两 张 曲 面 的所有 共 线法 矢， 沿共线 法 矢 点对 两 曲面 进 行分割，那 么 所得 到 的小曲面 片 没 有交线 环. 这 样 就保 证 了不 遗漏 任何交线 环.
对于相切点的位置追踪方向的计算：
//这个计算方法和我当时做求交的时候，处理相切情况计算切向的方法一样。并且确实可能会出现多解情况，也就是交线会在这个地方出现多个分支。最好根据前一次的跟踪方向，来确定当前走哪个分支，这样计算的交线走向更自然。 跟踪步长的计算方法：
//“ 根据 曲 率估 计 跟 踪步长 是 毫无 意 义 的”。确实如此，在实际工xxx中，我在估算跟踪步长的时候，虽然通过曲率计算得到估计步长，但还要做其他的限制处理。并且步长的估算公式最好是连续变化的。 对于相切点的位置跟踪步长的计算方法：
// 看起来这个估算曲率的方法也不错。因为曲率本来是用来估算步长的，不需要精确，所以采用本文中的方法似乎是个不错的选择。 // 我做求交采用的是利用更高阶偏微分计算相切点的曲率，计算方法可以从某一篇分析交线的微分的论文中找到。但是采用更高阶偏微分计算曲率计算量比较大，并且不是很稳定，因为可能像nurbs曲面没有连续的更高阶的微分。
曲 面 求 交 的 主 xxx 序 由三 部分构成：（1）计算 两 张 曲 面 的 包 围 盒，利用包 围盒 进 行求交粗判；（2） 计算 两张 曲 面 形 成的平 面 向 量 场， 用Kriezis方 法 求 出 临界 点。然 后， 利用 曲线/曲 面 求交算 法 计算 初始跟踪点 和 跟踪 方 向。（3）对外部 初 始跟 踪点 和 内 部 初 始 跟 踪 点分别 进行 跟 踪，得到 所有 交 线。外 部初始跟踪点 是 指 至 少在一 张 曲 面 边 界上 的 初 始跟 踪点，内部 初 始 跟 踪点 是指 不 在 任何 一张 曲 面 边界 上 的 初 始跟踪 点.
当跟踪完 所有 外 部 初 始 跟踪 点 后， 所得交线均与曲 面 边 界 有交。如 果此 时 内 部 初 始跟 踪点集非 空， 那 么两 曲 面 有 内部交 线 环。对 内 部 交 线 环的 跟 踪 较 为 简 单， 这 里 不再介 绍。 对外部初始跟踪 点 的 跟 踪 过 xxx： // 这里对于外部跟踪点的处理和我当时做求交实现的方法基本一样。 // 或者说其实本文中所描述的求交的理论方法，和我当时在实践中摸索的的实现曲面求交的方法基本完全一致。所以本文很具有实用价值，提到了很多工xxx实现时的关键问题。
这篇文章，紧接着上一篇“（1997年12月）平面向量场与曲率分析在曲面求交中的应用（xxx xxx xxx xxx/北航飞行器制造工xxx系）”。这篇文章主要在讲：相切情况下，切向和跟踪步长的计算方法。里面也提到： 在xxx 面 不 重 合的 情 况 下，利 用 曲 面 的 一 阶 导 数 就 能 确 定 跟踪 方 向，但 在切 平 面重 合的 情 况 下， 要确定跟踪 方向 就 必 须使用 曲 面 的 二 阶 导 数， 甚 至 更高 阶 导数。 曲 于 曲率 只 表 示 曲线 xxx 一 点处 的 局 部 弯 曲xxx 度， 所以 对 于 曲率 变 化 大 的 曲线，只 根据 曲率 估 计 跟 踪步长 是 毫无意 义的。然后举了一个例子说明：两 条 空 间位 置 非常“接 近”的 曲 线， 其曲率可 能 相 差 很 大。所 以曲 率相 对 于 空 间位 置 是极 不 稳 定 的量， 仅 用曲率 估 计 步长 不 能 得到稳 定 可靠的 结果。由 于 实 际 中 使 用 的曲 线， 其曲 率变化 一 般 比 较均 匀， 使用 曲 率估计 步 长仍是 一 种 实 用 方 法。但在 算 法 的实 现 中， 一定 要 考虑 到 曲率的不稳定 性。
评论：这篇论文的主要内容在“（1997年12月）平面向量场与曲率分析在曲面求交中的应用”基本都覆盖了。
曲线曲面总结 第5篇
第一基本形式的作用是计算曲面上曲线的长度，两条曲线交点切向量的夹角，或是某一块曲面片的面积。
同第一基本形式一样，第二基本形式也不是曲面的，而是曲面上一点的。第二基本形式的几何意义是，曲面在当前这个点上的曲率是多少，也就是曲面在这点上有多“曲”。
第二基本形式的计算方法如下：
令曲面是正则曲面，在点处的标准单位法线为，则曲面在点处的第二基本形式是，其中，是关于的二阶偏导数，依次类推。被称为第二基本形式的系数。
从式子中也可以看出来，这玩意儿就是一个标量而已。所以，我不喜欢把它叫成曲面的第二基本形式，因为这会产生很大的歧义，仿佛这是曲面的表达式似的。
第二基本形式的产生思路是这样子的。前面我们研究曲线的时候，计算了曲线的曲率，有了一个量来表示曲线有多“曲”，那么自然地，我们也会想知道一个曲面有多“曲”，这就引出了第二基本形式。
第二基本形式是曲面上两点之间，法向量方向上的距离，如下图所示：
另外一种第二基本形式的表示方式，可以说是一种巧合，因为它没有什么几何意义。我们来看：因为，对这个式子两边求导我们可以得到对两边求导可得这就说明这就是说没错，就是这么巧。也就是说也是第二基本形式。
为啥没意义呢？因为dx可以看成是x的某一个切向量，而dN可以看成是N的切向量（如果xxx是一个单位球的曲面的话，也可以说是高斯映射，当然，这是不正经定义），那么两个切向量的点积，还要求相反数，这就没有啥意义了。当然，这只是我个人的理解，如果读者有更好的理解的话，请留言告诉我，谢谢！
说实话，这些定义都是非常基本的但是要理解这些东西也并不容易，其中的有一些概念可以扩展延伸成更有用的概念，在这里就不整理了，因为，只要这些基本的概念在，就不虚！
Differential Geometry of Curves and Surfaces, by do CarmoElemetary Diffential Geometry Second Edition, by Andrew Pressley
曲线曲面总结 第6篇
这一节中，我们考虑正则曲面函数的可微性质。我们首先讨论参数化函数的坐标变换。假设S是一个正则曲面，且F_\alpha: U\mapsto S和F_\beta: V\mapsto S是两个参数化函数满足F_\alpha(U)\cap F_\beta(V)=W\not=\emptyset，那么很自然地，我们会讨论坐标变换F_\alpha^{-1}\circ F_\beta与F_\beta^{-1}\circ F_\alpha，下面的定理告诉我们，坐标变换函数也是光滑的，且具有光滑的逆函数。
定理 假设p是三维空间中正则曲面S上的一点，且F_\alpha: U\mapsto S和F_\beta: V\mapsto S是点p处的参数化函数，且F_\alpha(U)\cap F_\beta(V)=W\not=\emptyset，p\in W。那么坐标变换函数h=F_\alpha^{-1}\circ F_\beta: F_{\beta}^{-1}(W)\mapsto F^{-1}_\alpha(W)是光滑的且其逆函数也是光滑的。
证明：
观察函数h，我们知道F_\beta是光滑函数，但根据定义F_\alpha^{-1}仅是连续函数，因此，我们不能根据函数复合的定义来得到函数h是光滑的。
记F_\alpha(u, v)=(x(u,v), y(u,v), z(u, v)), \forall u,v\in U。根据F_\alpha是正则曲面参数化函数的定义，不失一般性地，根据定义的正则性条件3，我们可以假设
\operatorname{det}\begin{pmatrix}\partial_ux & \partial_u y \\ \partial_v x & \partial_v y\end{pmatrix} \not=0。 \\
记\pi为投影函数\pi(x,y,z)=(x,y)。那么根据反函数定理，我们可知\pi\circ F_\alpha是光滑函数，且其逆存在，并且也是光滑函数。我们知道F_\alpha^{-1}\circ F_\beta = (\pi\circ F_\alpha)^{-1}\circ (\pi\circ F_\beta)，即F_\alpha^{-1}\circ F_\beta表示成了两个光滑函数的复合，因此也是光滑函数。同样的证明也可以来证明h^{-1}是光滑的。
下面我们就正式讨论正则曲面上的可微函数。我们有如下定义。
(正则曲面上的可微函数) 假设S是正则曲面，且f: V\subset S\mapsto \mathbb{R}是开区间V上的实值函数。我们说函数f在点p\in V处可微，当且仅当对某个参数化函数F_\alpha: U\subset \mathbb{R}^2\mapsto S，p\in F_\alpha(U)\subset V，使得复合函数f\circ F_\alpha：U\mapsto \mathbb{R}在点F_{\alpha}^{-1}(p)处可微。函数f可微，当且仅当其在V的每一点都可微。
从定理，我们可以看出函数可微的定义是不依赖于参数化函数的选择的。因为如果F_\beta: W\mapsto S是另外一个参数化函数，且p\in F_\beta(W)，那么f\circ F_\beta = f\circ F_\alpha \circ (F_\alpha^{-1}\circ F_\beta)也是可微的。
我们同样可以把可微函数的定义拓展到正则曲面到正则曲面之间的函数映射。假设S_1和S_2是两个正则曲面，且V是S_1的开子集。我们说函数\varphi: V\mapsto S_2在点p\in V处可微，当且仅当存在两个参数化函数F_\alpha: U\subset\mathbb{R}^2\mapsto S_1，F_\beta: W\subset\mathbb{R}^2\mapsto S_2，使得p\in F_\alpha(U)，\varphi(F_\alpha(U))\subset F_\beta(W)，且F_\beta^{-1}\circ \varphi \circ F_\alpha在点F_\alpha^{-1}(p)处是可微的。更进一步，如果存在一个光滑函数\varphi: S_1\mapsto S_2，且其逆也是光滑的，那么我们称这两个正则曲面微分同胚。
下面我们来看几个正则曲面上的光滑函数的例子