高数概念总结篇1
下面给大家总结一些高数的复习精华，希望能给大家带来些帮助。
1，几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的？存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。
2，罗尔定理：设函数f(x）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b），在开区间（a,b）上可导，且f(a)=f(b），那么至少存在一点ξ∈（a、b），使得f'（ξ）=0。罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理的三个已知条件的意义，⒈f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；⒉f(x）在内（a,b）可导表明曲线y=f(x）在每一点处有切线存在；⒊f(a)=f(b）表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴；罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b）内至少能找到一点ξ，使f'（ξ）=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行
3，应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，我的敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。我会经常会去复习，那样我对中值定理的题目早已没有那种刚学高数时的害怕之极。要想对微分中值定理这块的'题目有条理的掌握，看我这个总结定会事半功倍的。
4，泰勒公式展开的应用专题：我以前，以及我所有的同学，看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。第一：什么情况下要进行泰勒展开；第二：以哪一点为中心进行展开；第三：把谁展开；第四：展开到几阶？
5，对称性，轮换性，奇偶性在积分（重积分，线，面积分）中的综合应用：这几乎每年必考，要么小题中考，要么大题中要用，这是必须掌握的知识，但是往往不是那么容易就靠做3，4个题目就能了解这知识点的应用到底有多广泛。我们做积分题，尤其多重积分和线面积分，死算也许能算出结果，但是要是能用以上性质，那可真是三下五除二搞定，这方面的感觉相信大家有过，可是或许仅仅是昙花一现，因为你做出来了以为以后就一定会在相似的题目中用，其实不然，因为仅仅靠几道题目很大程度上不能给你留下太深刻的印象，下次轮到的时候或许就是考场上了，你可能顿时苦思冥想，最终还是选择了最傻的办法，浪费了宝贵时间。说这些其实就是说明，考场上的正常或超常发挥是建立在平时踏实做，见识广，严要求的基础上。
高数概念总结篇2
1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数)
2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量 ;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.
3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：
(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;
(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线
(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;
(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
4.解疑释惑
(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?
一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?
在“数学建模”中要把握好下列几个问题：
1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.
2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的.数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.
3求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解. ○
4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.
5评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤.
(3)“数学建模”中要注意什么问题?
1有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.
2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决. 5.规律总结
(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.
(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意.
(3)建立“数学模型”常用的分析方法：
(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.
(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.
(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.
高数概念总结篇3
1、关于极限的知识点，首先当然是极限的定义了。数列的极限有ε-N定义：
设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作：lim(n->∞)an=a. 对应的还有数列发散的定义。
函数极限则有趋于无穷的定义：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作：lim(x->+∞)f(x)=A. 对应的有趋于负无穷和趋于无穷的定义。
另外，函数极限还有趋于x0的定义：设f在某空心邻域U(x0;δ’)内有定义， A为定数.若对任给的ε>0，存在正数δ(<δ’)，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作：lim(x->x0)f(x)=A.
2、然后是极限的性质，不管是数列极限，还是函数极限，都有唯一性，有界性，保号性，保不等式性和迫敛性五个性质。以函数极限为例，唯一性比较好理解，就是极限是唯一的，不可以同时存在两个极限。其它四个性质分别为：
局部有界性：若lim(x->x0)f(x)存在，则f在x0的某空心邻域U(x0)内有界.
局部保号性：若lim(x->x0)f(x)=A>0(或<0), 则对任何正数rr>0(或f(x)<-r<0)..
保不等式性：若lim(x->x0)f(x)与lim(x->x0)g(x)都存在，且在某邻域U(x0;δ’)内有：f(x)≤g(x)，则lim(x->x0)f(x)≤lim(x->x0)g(x).
迫敛性：设lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)g(x)=A, 且在某U(x0;δ’)内有：f(x)≤h(x)≤g(x)，则lim(x->x0)h(x)=A.
其它类型的极限性质类似，可自己模仿写出来。
数列极限和函数极限还有相同的四则运算法则，即：函数(或数列)和差积商的极限等于极限的和差积商，其中作为除数的函数(或数列)或极限不等于0。
3、接下来是极限存在的条件，即收敛的条件：
(1)单调有界定理：以数列极限为例，在实数系中，有界的单调数列收敛，且其极限是它的上(下)确界. 函数极限的单调有界定理只针对单侧极限。
(2)柯西收敛准则：以函数极限为例，设f在U(x0;δ’)内有定义。lim(x->x0)f(x)存在的充要条件是：任给ε>0,存在正数δ(≤δ’)，使得对任何x’, x”∈U(x0;δ)有|f(x’)- f(x”)|<ε.
(3)函数极限与数列极限之间的桥梁，是归结原则：
设f在U(x0;δ’)内有定义。lim(x->x0)f(x)存在的充要条件是：对任何包含于U(x0;δ’)且以x0为极限的数列{xn}， lim(x->∞)f(xn)都存在且相等.
函数极限的单侧极限，即左极限和右极限，都有对应的归结原则。
关于极限存在的条件还有很多，但未必都是充要条件，只能靠平时学习中多加积累。
4、常用的极限。
最重要的是无穷小量，可以理解为等于0的极限。当两个无穷小量的比等于1时，我们就称它们为等阶无穷小量，可以在求极限时，进行等价替换。比如x和sinx是等阶无穷小量，记做x~sinx，或sinx~x.
有一些常用的等阶无穷小量必须牢记，其中最常用的有：x~sinx~tanx和x^2~(cosx)^2/2. 而 x~sinx更是构成了第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 要注意它与lim(x->∞)sinx/x的区别，后者是无穷小量与有界量的积，结果等于0.
第二个重要极限是：lim(x->∞)(1+1/x)^x=e，它还有数列极限的形式：lim(n->∞)(1+1/n)^n=e. 它涉及到一类未定式极限1^∞，只要是这种类型的极限，都与e有关。
与无穷小对应的是无穷大量，不过无穷大量的倒数就是无穷小量，所以我们可以把它们统一起来，求无穷大量有关的极限时，都可以先把无穷大量化为无穷小量来解。
5、最后一个问题是极限的应用。极限的应用非常广泛，我们在极限这一章中，主要是用它来求函数图像的渐近线。这方面的详细内容请自行补充。
高数概念总结篇4
极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
极限无外乎出这三个题型：
求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键， 极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。
极限的计算常用方法：
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点包括：
1、连续、间断点以及间断点的'分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；
2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验 存在的定义是极限 存在；
3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；
4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
重要题型及点拨
1、求数列极限
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
★抽象数列求极限
这类题一般以选择题的形式出现， 因此可以通过举反例来排除。 此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
★求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。
首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程， 从而得到数列的极限值。
b、利用函数极限求数列极限
如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
★求n项和或n项积数列的极限，主要有以下几种方法：
a、利用特殊级数求和法
如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
b、利用幂级数求和法
若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
c、利用定积分定义求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示， 则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
d、利用夹逼定理求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
e、求n项数列的积的极限，一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
高数概念总结篇5
函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。 限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则 ：
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的 ，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件 ，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者 ，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限 ，而是需将函数进行恒等变形 ，使其符合条件后 ，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。 例 1
求 lim( x 2 3x + 5).
x→ 2
解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 3 lim x + lim 5
= 2 2 3 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
2.利用洛必达法则
洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：
设函数f(x)和F(x)满足下列条件：
（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大
则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
对分子分母同时求导（洛必达法则）
(tgx) = 1 / (cosx)^2
(x) = 1
原式 = lim 1/(cosx)^2
当 x --> 0 时,cosx ---> 1
原式 = 1
3.利用两个重要极限：
应用第一重要极限时 ，必须同时满足两个条件：
① 分子、分母为无穷小 ，即极限为 0 ；
② 分子上取正弦 的角必须与分母一样。
应用第二重要极限时 ，必须同时满足四个条件：
①带有“1”；
② 中间是“+ ”号 ；
③“+ ”号后面跟无穷小量 ；
④指数和“+ ”号后面的数要互为倒数。
例1：
求lim(arcsinx/x),x趋于0
解A.令x=sint,则当t 趋于0时,x趋于0,且arcsinx=t
所以 (arcsinx/x),x趋于0.=lim(t/sint),t趋于0=1
4.利用等价无穷小代换定理
利用此定理求函数的极限时 ，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换 ，因为经此代换后 ，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理 ，必须熟记一些常 用的等价无穷小 。
例1
lim√(1-cosx)/tanx
=lim-√2sin(x/2)/tanx
=lim-√2/2x/x
=-√2/2
lim√(1-cosx)/tanx
=lim√2sin(x/2)/tanx
=lim√2/2x/x
=√2/2
因为lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx
所以极限不存在
5.柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整数N使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。
例1
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：
对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
6.利用函数连续性：
（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
例1
设 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：
当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？
当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？
注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0
b+1, x=0
X^2-1, x>0
解：f(0)＝b+1
左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a
左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，
所以a＝-1＝b+1，
所以a＝-1，b＝-2
7.利用等价无穷小量代换求极限
tanxsinx例 8 求极限lim． x0sinx3
解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx
x2
sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02
故有
x2
xtanxsinx11． limlimx0x0cosxsinx3x32
注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的`因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出
limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3
则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
x2
sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2
arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，
ln1x~xx0，1x1~xx0．
8 利用洛比达法则求极限
0洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要求在0
点x0的空心领域U
例1
求极限lim0x0内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零． 1cosx． xtan2x
xx解 由于lim1cosxlimtan2x0，且有
1cosxsinx，tan2x2tanxsec2x0，
由洛比达法则可得
lim1cosx xtan2x
xlisinx 22tanxsexc
cos3xlimx21． 2
9.利用定义求极限
1．fxlimxx0fxfx0， xx0
fx0hfx0． h2．fx0limh0
其中h是无穷小，可以是xxxx0，x的函数或其他表达式．
例1
求极限x0p0,q0．
0 分析 此题是x0时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母0
中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．
解 令f
xg
x 则
x0fxf0
lim x0gxg0x0
f0g0p． q
10. 利用归结原则求极限
归结原则设f在U0x0;内有定义，limfx存在的充要条件是：对任何含于xx0
U0x0;且以x0为极限的数列xn，极限limfxn都存在且相等． n
例1 11求极限lim12． nnn
x1分析 利用复合函数求极限，令ux12x
x1解 令ux12x
nnnx2x1，vxx1求解． xx2x1，vxx1则有 xlimuxe；limvx1，
由幂指函数求极限公式得
vx11lim12limuxe， xxxxx