线性代数重点总结(共19篇)

线性代数重点总结 第1篇

定义1：设A=（aij）nn为n阶实方阵，如果存在某个非零 r 和xxxxxx零列向量 p 满足： Ap=rp，则 r 是A 一个特征值，p是A的属于特征值为r 的一个特征向量

定义2：带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；它的行列式称为A的特征多项式；|rE-A|=0称为A的特征方程

求解特征值与特征向量的方法：

线性代数重点总结 第2篇

化成上下三角

按行展开

制造行和：如图所示行列式

∣ x a a a x a a a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 a a 1 x a 1 a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 0 0 1 x 0 1 0 x ∣ ( 用第一列乘 − a 加到后两列去，形成下三角求和 ) \left|\begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right|-> (x+2a)\left|\begin{matrix} 1 & a & a \\ 1 & x & a \\ 1 & a & x \end{matrix} \right| -> (x+2a) \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{matrix} \right|(用第一列乘-a加到后两列去，形成下三角求和) ​xaa​axa​aax​​−>(x+2a)​111​axa​aax​​−>(x+2a)​111​0x0​00x​​(用第一列乘−a加到后两列去，形成下三角求和)

加边法：不能改变原行列式的值

范德蒙德行列式：[范德蒙行列式_百度百科 ()]

反对称行列式

对称行列式

线性代数重点总结 第3篇

定义1：设A=（aij）nn为n阶实方阵，如果存在某个非零 r 和xxxxxx零列向量 p 满足： Ap=rp，则 r 是A 一个特征值，p是A的属于特征值为r 的一个特征向量

定义2：带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；它的行列式称为A的特征多项式；|rE-A|=0称为A的特征方程

求解特征值与特征向量的方法：

实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量

上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素

一个向量p不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量

n阶方阵和它的转置具有相同的特征值

r1 r2 r3 为A的全体特征值则必有：即特征值之和等于对角线元素之和（迹），特征值之积等于行列式的值

∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i = t r ( A ) ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=tr(A) \qquad \prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}=|A| i=1∑n​λi​=i=1∑n​aii​=tr(A)i=1∏n​λi​=∣A∣

步骤：

求出特征值，检查特征值之和是否等于行列式对角线元素之和，即迹，特征值之积是否等于行列式的值。

属于特征值的特征向量全体是 …

定义1： A与B是n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B

相似矩阵具有对称性，传递性，反身性

两矩阵相似的特征：

定理3：n阶方阵相似于n阶对角矩阵的充要条件：A有n个线性无关的特征向量

推论：如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 r1 r2 r3 r4 … rn，则A与对角矩阵 相似，并且对角矩阵的对角线元素为 r1 r2 r3 r4 … rn。

n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：对于A的每一个n重特征值，xxx线性方程组（rE-A）x=0 的基础解系中恰含n个向量

概念：两个矩阵的对应元素相乘再相加，得到的一个数值，是两个矩阵的内积，记作：[A，B]

定义2**：向量的内积开根号 叫做向量的长度，向量的长度用||A||表示**，例如：a=(a1,a2,a3) ， ||a||=根号下[a,a]，

定义：若[a,b]=0，则向量a，b正交

由非零向量两两正交组成的向量组称为正交向量组

施密特正交化：正交化 -> 单位化

线性代数重点总结 第4篇

定义：设 xxx向量组 a1，a2，a3 ，B

若k1，k2，k3为任意一组常数，则称 k1a1+k2a2+k3a3…+k4a4为向量组 a1+a2+a3的一个线性组合

若k1，k2，k3为任意一组常数，使得 B=k1a1+k2a2+k3a3+…knan成立，则称B可由向· 量组线性表示

向量B是否可由a1,a2,a3,an线性表示的方法：判断线性方程组k1a1+k2a2+knan是否有解

简单来说：

判断一个向量组的线性关系的方法：

线性代数重点总结 第5篇

同型矩阵才能相加减

对应行对应列的元素相加即可

定义： 设A=(aij)ms， B=(bij)s * n ,则C=(cij)mn=AB

只有当左边矩阵A的行数等于右边矩阵B的列数才能做乘法运算。

相乘后，结果矩阵的行数等于左边矩阵A的行数，列数等于右边矩阵B的列数。

矩阵cij的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B第j列元素相乘后相加。

矩阵乘法与普通乘法运算规则不同

若矩阵满足AB=BA，则A和B是可交换的，仅当A和B可交换时，才满足交换律，结合律等数学公式

A=（aij）n*n 是n阶方阵，则行列式 |A|中的每个元素aij的代数余子式Aij所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵

A*在（i，j）上的位置元素等于 A在 （j，i）上的位置的元素的代数余子式！！！！！！！

伴随的一般求法：

A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则满足： AA *=A *A=|A|E

矩阵的初等行或者列变换统称为 矩阵的初等变换

行变换转换为标准型矩阵的一般步骤:

单位矩阵的行数等于行阶梯非零行的行数

三种初等变换：

性质：

( A , E ) − > ( E , A − 1 ) (A,E)->(E,A^{-1}) (A,E)−>(E,A−1)

初等列变换也是同理

在矩阵A，B，xxx可逆的前提下：

( A , B ) − 初等行变换 − > ( E , A − 1 B ) (A,B)-^{初等行变换}->(E,A^{-1}B) (A,B)−初等行变换−>(E,A−1B)

初等列变换也是同理

行阶梯形矩阵：

行最简型矩阵：

定义：在矩阵A中，不为零子式的最高阶数称为A的秩，r（A）=min（m，n），则A为满秩矩阵，否则为降秩矩阵

性质：

任意矩阵A与秩满足： 0<=r(A)<=min(m,n)

矩阵A可逆，则|A|不为零，则与 r（A）=n 形成充分必要条件，矩阵A为满秩矩阵

行阶梯形矩阵的秩等于它非零行的行数或者首非零元的个数

求矩阵秩的一般方法：用初等变换将矩阵转换为阶梯型矩阵

关于秩的相关结论：

线性代数重点总结 第6篇

向量的线性运算

线性方程组的向量形式： a1x1+a2x2+a3x3+ … a4x4=B，借助向量可以讨论线性方程组

定义：设 xxx向量组 a1，a2，a3 ，B

若k1，k2，k3为任意一组常数，则称 k1a1+k2a2+k3a3…+k4a4为向量组 a1+a2+a3的一个线性组合

若k1，k2，k3为任意一组常数，使得 B=k1a1+k2a2+k3a3+…knan成立，则称B可由向· 量组线性表示

向量B是否可由a1,a2,a3,an线性表示的方法：判断线性方程组k1a1+k2a2+knan是否有解

简单来说：

判断一个向量组的线性关系的方法：

定义：设向量组T： a1 , a2 , a3 … an 中有一部分向量组 a1 a2 a3 ar （r

1. a1 a2 a3 ar线性无关
2. 在向量组T中除去（1-r）xxx一个向量 ai，满足 a1 a2 a3 ar，ai 线性相关，则称 a1 a2 a3 ar是向量组T的一个极大线性无关组。简称为极大无关组

根据上节的结论:

若向量组 a1 a2 am线性无关，而向量组 a1 a2 a3 B线性相关，则 B可由 a1 a2 a3 线性表示，且表达式唯一

可得：向量组T中任意向量 ai 都可由 a1 a2 a3 ar线性表示

极大无关组不一定是唯一的，只含零向量的向量组没有极大无关组

定义2：设有两个向量组1，2，向量组2中的每一个元素都可由向量组1线性表示，则称向量组2可由向量组1线性表示，否则称不可线性表示。

定理：

定义： 向量组T的极大无关组所包含向量的个数，称为向量组的的秩

定理：

行向量组与列向量组：

求向量组极大无关组的方法：先将列向量组构成矩阵A，然后对A实行初等行变换，把A化为行最简型矩阵，由行最简型矩阵列之间的关系，确定原向量组间的线性关系，从而确定极大无关组。

线性代数重点总结 第7篇

含n个变量的 二次xxx多项式称为一个n元二次型，简称二次型

若C 是可逆矩阵，x=Cy为可逆线性变换；若C是正交矩阵，则x=Cy为正交线性变换

定义： 如果A，B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 CT A C =B，则称A与B合同

定义：只含平方项的 二次型称为二次型的标准型

正交变换法化二次型为标准型的方法：

正交单位化的时候：

判别方法：f=xT A x正定的充要条件是 矩阵A的特征值都是正数

实对阵矩阵A正定的充要条件是 A的各阶顺序子式都大于0

线性代数重点总结 第8篇

解释：即

性质5    

性质6    

解释：其中

性质7    

线性代数重点总结 第9篇

全排列 把 n 个不同的元素xxx一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列。

例如, \{ 5, 3, 4, 2, 1 \} 是一个排列。

全排列的个数 记 P_{n} 为 n 个元素的全排列的个数，则有

P_{n} = n! \\

排列数 记 P_{n}^{m} 为从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的全排列的个数，则有

P_{n}^{m} = A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!} \\

特别地，当 m=n 时， P_{n}^{m} = P_{n} 成立。

逆序 在全排列中，xxx一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成 1 个逆序。

逆序数 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。记排列 a_{n} 的逆序数为 t ，则有

t = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{i - 1}{[a_{i} < a_{j}]}} \\

奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动的操作叫做对换。特别地，将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。

对换定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

\bm{n} 阶行列式 设有 n^{2} 个数，xxx n 行 n 列的数表

\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \\

定义 n! 项代数和

D = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{t}\prod_{j = 1}^{n} a_{jp_{j}} \\

其中 p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} 为 n 的所有排列， t 为排列 p_{n} 的逆序数。则称上式为n 阶行列式，记作

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\

简记作 \det(a_{ij}) ，其中 a_{ij} 为行列式 D 的 (i,j) 元。

上（下）三角行列式 主对角线以下（上）的元素都为 0 的行列式叫做上（下）三角行列式；特别地，除主对角线以外，其余元素都为 0 的行列式叫做对角行列式。

上（下）三角行列式和对角行列式满足

\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{n}{a_{ii}} \\ \begin{vmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}} \\

性质1 行列式 D 与它的转置行列式 D^{T} 相等，即 \det(a_{ij}) = \det(a_{ji}) .

性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。

性质2推论 若行列式 D 存在两行（列）完全相同，则 D = 0 .

性质3 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式，即

D \xlongequal{r_{i} \times k}{} kD \\ D \xlongequal{c_{j} \times k}{} kD \\

性质4 若行列式 D 中存在两行（列）元素成比例，则 D = 0 .

性质5 若行列式 D 的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式 D 满足

\begin{align} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + a_{i1}^{\prime} & a_{i2} + a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in} + a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}^{\prime} & a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ \end{align} \\

性质6 把行列式 D 的某一行（列）的各元素的 k 倍加到另一行（列），行列式不变，即

D \xlongequal{r_{j} + kr_{i}}{} kD \\ D \xlongequal{c_{q} + kc_{p}}{} kD \\

分块（矩阵）行列式 设

D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & & \\ \vdots & & \vdots & & & & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} & \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} & \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{vmatrix} \\

D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} = AB \\

类似地，有

\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \\ \end{vmatrix} =AB \\

余子式 在 n 阶行列式中，把 a_{ij} 所在的行和列划去后，留下的 n-1 阶行列式叫做 a_{ij} 的余子式，记作 M_{ij} .

代数余子式 记

A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij} \\

则 A_{ij} 叫做 a_{ij} 的代数余子式。

行列式按行（列）展开法则 行列式 D 等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D = \sum_{i = 1}^{n}a_{pi}A_{pi} = \sum_{i = 1}^{n}a_{iq}A_{iq} \\

Vandermonde行列式

D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \cdots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_{i} - x_{j}) \\

线性代数重点总结 第10篇

向量组的线性组合 给定向量组 A: \bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_m ，对于任何一组实数 k_1,k_2,\cdots,k_m ，表达式

\sum_{i=1}^{m}k_i\bm{a}_i \\

称为向量组 A 的一个线性组合， k_i~(1\leq i\leq m) 称为这个线性组合的系数。

向量的线性表示 给定向量组 A: \bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_m 和向量 \bm{b} ，如果存在一组数 k_1,k_2,\cdots,k_m ，使

\bm b=\sum_{i=1}^{m} k_i\bm{a}_i \\

则称向量 \bm b 能由向量组 A 线性表示。

向量组 A 可以写成 n 行 m 列的矩阵 \bm A= \begin{pmatrix} \bm a_1 & \bm a_2 & \cdots & \bm a_m \\ \end{pmatrix} ，则向量 \bm b 能由向量组 A 线性表示可写成

\bm b=\bm {A} \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \\ \end{pmatrix} \\

有解，即 R(\bm A)=R(\bm A,\bm b) .

向量组的线性表示 给定向量组 A: \bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_m 和 B: \bm{b}_1,\bm{b}_2,\cdots,\bm{b}_l ，若 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。类似地，有

\bm B=\bm A \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1l} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{ml} \\ \end{pmatrix} \\

有解，即 R(\bm A)=R(\bm A,\bm B) .

向量组等价 给定向量组 A 和 B ，如果它们能互相线性表示，则称这两个向量组等价。类似地，有

\bm B=\bm A \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1l} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{ml} \\ \end{pmatrix} \\ \bm A=\bm B \begin{pmatrix} q_{11} & q_{12} & \cdots & q_{1l} \\ q_{21} & q_{22} & \cdots & q_{2l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ q_{m1} & q_{m2} & \cdots & q_{ml} \\ \end{pmatrix} \\

有解，即 R(\bm A)=R(\bm A,\bm B)=R(\bm B) .

向量组的线性相关性 给定向量组 A: \bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_m ，如果存在不全为零的数 k_1,k_2,\cdots,k_m ，使

\sum_{i=1}^{m} k_i\bm{a}_i=\bm 0 \\

则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的。

向量组的秩 给定向量组 A ，如果能在 A 中选出 r 个向量 \bm a_1,\bm a_2,\cdots,\bm a_r ，满足

则称向量组 A_0 是向量组 A 的一个最大线性无关组，简称最大无关组， r 称为向量组 A 的秩，记作 R_A .

定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

对于一个向量方程 \bm{Ax}=\bm 0 ：

基础解系 xxx线性方程组的解集的最大无关组称为该xxx线性方程组的基础解系。

xxx线性方程组解的结构 设向量方程 \bm{Ax}=\bm 0 的系数矩阵 \bm A 的秩为 r ，则增广矩阵 (\bm A,\bm 0) 的行最简形矩阵为

\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1,n-r} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r,n-r} & 0 \\ 0 & & & \cdots & & 0 & 0 \\ \vdots & & & & & \vdots & \vdots \\ 0 & & & \cdots & & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\

\begin{cases} x_1 = -b_{11}x_{r+1}-\cdots-b_{1,n-r}x_n \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ x_r = -b_{r1}x_{r+1}-\cdots-b_{r,n-r}x_n \\ \end{cases} \\

令 x_{r+1},\cdots,x_n 作为自由变量，并令它们依次等于 c_1,\cdots,c_{n-r} ，可得xxx线性方程组的通解

\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_r \\ x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} =c_1 \begin{pmatrix} -b_{11} \\ \vdots \\ -b_{r1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} +c_2 \begin{pmatrix} -b_{12} \\ \vdots \\ -b_{r2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} +\cdots+c_{n-r} \begin{pmatrix} -b_{1,n-r} \\ \vdots \\ -b_{r,n-r} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix} \\

把上式记作 \bm x=\sum_{i=1}^{n-r}c_i\bm\xi_i ，则 \bm\xi_i 为xxx线性方程组的基础解系。

定理 设 m \times n 矩阵 \bm A 的秩 R(\bm A)=r ，则 n 元xxx线性方程组 \bm{Ax}=\bm 0 的解集 S 的秩 R_S=n-r .

对于一个向量方程 \bm{Ax}=\bm b ：

非xxx线性方程组解的结构 向量方程 \bm{Ax}=\bm b 的通解为

\bm x=\bm\eta^*+\sum_{i=1}^{n-r}c_i\bm\xi_i \\

其中 \sum_{i=1}^{n-r}c_i\bm\xi_i 是方程 \bm{Ax}=\bm 0 的通解， \bm\eta^* 是方程 \bm{Ax}=\bm b 的任一解（称为特解）。

向量空间 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 满足

则称集合 V 为向量空间。特别地，全体 n 维向量构成的向量空间记作 \mathbb R^n .

一般地，由向量组 \bm a_1,\bm a_2,\cdots,\bm a_m 所xxx的向量空间为

L=\{\bm x=\sum_{i=1}^{m}k_i\bm a_i | k_1,\cdots,k_m\in\mathbb R\} \\

等价向量空间 给定向量空间

L_1=\{\bm x=\sum_{i=1}^{m}k_i\bm a_i | k_1,\cdots,k_m\in\mathbb R\} \\ L_2=\{\bm x=\sum_{i=1}^{m}k_i\bm b_i | k_1,\cdots,k_m\in\mathbb R\} \\

若向量组 \bm a_1,\bm a_2,\cdots,\bm a_m 和 \bm b_1,\bm b_2,\cdots,\bm b_m 等价，则向量空间 L_1 和 L_2 等价。

子空间 给定向量空间 V 和 V_{sub} ，若 V_{sub}\subseteq V ，则称 V_{sub} 是 V 的子空间。

基 设 V 为向量空间，若 \bm a_i\in V~(1\leq i\leq r) ，且满足

那么，向量组 \bm a_1,\bm a_2,\cdots,\bm a_m 就称为向量空间 V 的一个基， r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为r 维向量空间。

如果在向量空间 V 中取定一个基 \bm a_1,\bm a_2,\cdots,\bm a_r ，那么 V 中任一向量 \bm x 可惟一表示为

\bm x=\sum_{i=1}^{r}k_i\bm a_i \\

数组 (k_1,k_2,\cdots,k_r) 称为向量 \bm x 在基 \bm a_1,\bm a_2,\cdots,\bm a_r 中的坐标。

线性代数重点总结 第11篇

内积 设有 n 维向量

\bm x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix},~ \bm y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{pmatrix} \\

[\bm x,\bm y]=\sum_{i=1}^{n}x_iy_y \\

则称 [\bm x,\bm y] 为向量 \bm x 与 \bm y 的内积。

内积具有下列性质：

Cauchy-Schwarz不等式

[\bm x,\bm y]^2\leq[\bm x,\bm x][\bm y,\bm y] \\

向量的长度（2-范数） 令

\vert\vert\bm x\vert\vert=\sqrt{[\bm x,\bm x]}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \\

则称 \vert\vert\bm x\vert\vert 为向量 \bm x 的长度，又称2-范数。

夹角 令

\theta=\arctan{\frac{[\bm x,\bm y]}{\vert\vert\bm x\vert\vert\vert\cdot\vert\bm y\vert\vert}} \\

则称 \theta 为向量 \bm x 与 \bm y 的夹角。

正交 当 [\bm x,\bm y]=0 时，称向量 \bm x 与 \bm y 正交。

向量 \bm x 与 \bm y 正交时， \theta=0 .

正交矩阵 如果 n 阶矩阵 \bm A 满足

\bm A^\mathrm T\bm A=\bm E \\

\bm A^{-1}=\bm A^\mathrm T \\

则称矩阵 \bm A 为正交矩阵，简称正交阵。

特征值 设 \bm A 是 n 阶矩阵，如果数 \lambda 和 n xxx零列向量 \bm x 使

\bm{Ax}=\lambda\bm x \\

成立，则 \lambda 称为矩阵 \bm A 的特征值， \bm x 称为 \bm A 的对应于特征值 \lambda 的特征向量。

特征方程 方程 \bm{Ax}=\lambda\bm x 可写成

(\bm{A}-\lambda\bm E)\bm x=\bm 0 \\

它有非零解的充分必要条件是 |\bm{Ax}-\lambda\bm E|=0 ，即

\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \\

上式称为矩阵 \bm A 的特征方程。多项式 f(\lambda)=|\bm{A}-\lambda\bm E| 称为矩阵 \bm A 的特征多项式。矩阵 \bm A 的特征值就是该矩阵特征方程的解。

对于矩阵 \bm A 的 n 个特征值，满足：

相似矩阵 设 \bm A 、 \bm B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 \bm P ，使得

\bm P^{-1}\bm{AP}=\bm B \\

则称矩阵 \bm A 与 \bm B 相似，对 \bm A 进行 \bm P^{-1}\bm{AP} 运算称为对 \bm A 进行相似变换，可逆矩阵 \bm P 称为把 \bm A 变成 \bm B 的相似变换矩阵。

若矩阵 \bm A 与 \bm B 相似，则 \bm A 与 \bm B 的特征多项式相同，进而特征值也相同。

若 n 阶矩阵 \bm A 与对角矩阵

\bm\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n\\ \end{pmatrix} \\

相似，则 \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n 即是 \bm A 的 n 个特征值。

矩阵对角化 寻求相似变换矩阵 \bm P ，使得 \bm P^{-1}\bm{AP}=\bm\Lambda 为对角矩阵，这样的过程称为矩阵对角化。

n 阶矩阵 \bm A 能对角化的充分必要条件是 \bm A 有 n 个线性无关的特征向量。

定理 设 \bm A 为 n 阶对称矩阵， \lambda 是 \bm A 的特征方程的 k 重根，则矩阵 \bm A-\lambda\bm E 的秩 R(\bm A-\lambda\bm E)=n-k ，从而对应特征值 \lambda 恰有 k 个线性无关的特征向量。

二次型 含有 n 个变量 x_1,x_2,\cdots,x_n 的二次xxx函数

f=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \\

称为二次型。特别地，当 a_{ij} 为复数时， f 称为复二次型；当 a_{ij} 为实数时， f 称为实二次型。

标准型 对于二次型，若有可逆的线性变换

x_i=\sum_{k=1}^nc_{ik}y_k,~~1\leq k\in\mathbb Z\leq n \\

使二次型只含平方项，也就是说

f=\sum_{i=1}^nk_iy_i^2 \\

成立。这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）。

规范型 如果标准型的系数 k_i 满足

k_i\in\{-1,0,1\} \\

，则该标准型称为二次型的规范型。

二次型的矩阵 二次型

f=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \\

可写成

f= \begin{pmatrix} x1 & x2 & \cdots & x_n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} \\

\bm A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix},~~ \bm x= \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} \\

则二次型 f 可记作

f=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x \\

其中，对称矩阵 \bm A 称为二次型 f 的矩阵，二次型 f 称为对称矩阵 \bm A 的二次型。

合同 设 \bm A 和 \bm B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 \bm C ，使 \bm B=\bm C^\mathrm T\bm{AC} ，则称矩阵 \bm A 与 \bm B 合同。

惯性定理 设二次型 f=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x 的秩为 r ，且有两个可逆变换 \bm x=\bm{Cy} 及 \bm x=\bm{Pz} 使

f=\sum_{i=1}^rk_iy_i^2,~~k_i\ne0 \\

f=\sum_{i=1}^r\lambda_iz_i^2,~~\lambda_i\ne0 \\

则 k_1,\cdots,k_r 中正数的个数与 \lambda_1,\cdots,\lambda_r 中正数的个数相等。

正定二次型 设二次型 f(\bm x)=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x ，如果对 \forall \bm x\ne\bm 0 ，都有 f(\bm x)>0 ，则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 \bm A 是正定的；如果对 \forall \bm x\ne\bm 0 ，都有 f(\bm x)<0 ，则称 f 为负定二次型，并称对称矩阵 \bm A 是负定的。

Hurwitz定理 对称矩阵 \bm A 为正定的充分必要条件是 \bm A 的各阶主子式都为正；对称矩阵 \bm A 为负定的充分必要条件是 \bm A 的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。

线性代数重点总结 第12篇

阶梯型方程组：对线性方程组做初等变换所得到的就是阶梯型方程组

就是对方程组的增广矩阵做初等行变换，化为阶梯型矩阵，从而得到方程组的解

对增广矩阵化为行最简型矩阵，更容易求解

有无解的判定：

增广矩阵的秩 = 系数矩阵的秩 = 未知量的个数，则方程组 Ax=b 具有唯一解

增广矩阵的秩 不等于 系数矩阵的秩，则方程组Ax=b无解，存在一行，满足系数项全为零，而常数项不为零

xxx线性方程组一定满足：r（A，b）=r（A）

解向量的概念

若xxx线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个xxx向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为xxx线性方程组的基础解系

xxx线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。

定理1：如果xxx线性方程组Amn * X=0 的系数矩阵A的秩 r（A）= r < n，则Amn * X=0 的基础解系中有 n-r个解向量

xxx线性方程组的基础解系求解

非xxx线性方程组的基础解系求解

非xxx线性方程组的解的结构为：非xxx线性方程组的特解 + xxx线性方程组的通解。

求线性方程组通解的一般步骤

xxx线性方程组：

非xxx线性方程组：

线性代数重点总结 第13篇

行列式的定义：n*n个数字xxxn行n列，叫做n阶行列式。

行列式的项数：

余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的（n－k）×（n－k）矩阵的行列式。

代数余子式：元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。

行列式按行展开

异乘变零定理

拉普拉斯定理（k阶子式）

拉普拉斯展开定理

行列式相乘：（同阶行列式）三阶行列式：

第一行

第二行

第三行

化成上下三角

按行展开

制造行和：如图所示行列式

∣ x a a a x a a a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 a a 1 x a 1 a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 0 0 1 x 0 1 0 x ∣ ( 用第一列乘 − a 加到后两列去，形成下三角求和 ) \left|\begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right|-> (x+2a)\left|\begin{matrix} 1 & a & a \\ 1 & x & a \\ 1 & a & x \end{matrix} \right| -> (x+2a) \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{matrix} \right|(用第一列乘-a加到后两列去，形成下三角求和) ​xaa​axa​aax​​−>(x+2a)​111​axa​aax​​−>(x+2a)​111​0x0​00x​​(用第一列乘−a加到后两列去，形成下三角求和)

加边法：不能改变原行列式的值

反对称行列式

对称行列式

方程的个数等于未知量的个数

n个方程，n个未知量

D !=0 ： Xi= Di/D

Di 表示的是把系数行列式中第 i 列的元素用 常数项列 替代

定理与推论：

定理1：系数行列式D不等于0，则方程组有唯一解，解为：x1=D1/D,x2=D2/D …

定理2：xxx线性方程组的系数行列式 D!=0，则xxx线性方程组只有零解

简单来说：

线性代数重点总结 第14篇

1.矩阵 A 与 B 行等价的 充分必要条件是 存在 m 阶可逆矩阵 P ，使PA=B，记作

2.矩阵 A 与 B 列等价的 充分必要条件是 存在 n 阶可逆矩阵 Q ，使AQ=B，记作

线性代数重点总结 第15篇

解向量的概念

若xxx线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个xxx向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为xxx线性方程组的基础解系

xxx线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。

定理1：如果xxx线性方程组Amn * X=0 的系数矩阵A的秩 r（A）= r < n，则Amn * X=0 的基础解系中有 n-r个解向量

xxx线性方程组的基础解系求解

非xxx线性方程组的基础解系求解

线性代数重点总结 第16篇

矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等变换

矩阵等价 如果矩阵 \bm{A} 经过优有限次初等变换变成矩阵 \bm{B} ，就称矩阵 \bm{A} 与矩阵 \bm{B} 等价，记作 \bm{A} \sim \bm{B} .

矩阵等价满足：

定理 设 \bm{A} 与 \bm{B} 为 m \times n 矩阵，那么

子式 在 m \times n 矩阵 \bm{A} 中，xxx k 行 k 列，位于这些行列交叉处的 k^{2} 个元素，不改变它们在 \bm A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 \bm A 的 k 阶子式。

秩 若矩阵 \bm A 中存在一个不为零的 r 阶子式，且所有 r+1 阶子式全为零，那么数 r 称为矩阵 \bm A 的秩，记作 R(\bm A) . 规定零矩阵的秩为 0 .

矩阵的秩有以下性质：

\bm n 元xxx线性方程组解的判定 n 元xxx线性方程组 \bm{Ax}=\bm{0} 解的情况如下：

\bm n 元非xxx线性方程组解的判定 n 元非xxx线性方程组 \bm{Ax}=\bm{b} 解的情况如下：

矩阵方程解的判定 矩阵方程 \bm{AX}=\bm{B} 解的情况如下：

线性代数重点总结 第17篇

定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．

定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果① 集合 V 非空，② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭）若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭）那么就称集合 V 为向量空间．

定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．

线性代数重点总结 第18篇

矩阵与矩阵的等价关系可以分为三类：行等价、列等价、等价。

“行等价”定义如下：

如果矩阵 A 经过有限次 初等行变换 变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 行等价。记作

“列等价”定义如下：

如果矩阵 A 经过有限次 初等列变换 变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 列等价。记作

“等价“定义如下：

如果矩阵 A 经过有限次 初等变换 变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价。记作

线性代数重点总结 第19篇

定义1： A与B是n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B

相似矩阵具有对称性，传递性，反身性

两矩阵相似的特征：

定理3：n阶方阵相似于n阶对角矩阵的充要条件：A有n个线性无关的特征向量

推论：如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 r1 r2 r3 r4 … rn，则A与对角矩阵 相似，并且对角矩阵的对角线元素为 r1 r2 r3 r4 … rn。

n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：对于A的每一个n重特征值，xxx线性方程组（rE-A）x=0 的基础解系中恰含n个向量