线代性质总结 第1篇
考研数学线性代数难点知识点分析
在考研数学中，线性代数部分所占分值为22%，虽然所占比例不及高数分值高，但同样重要。线性代数部分内容相对容易，考试的时候出题的套路比较固定。但线代的考题对考生对基本概念的理解要求很高，很多考生往往是读完了题却不知道题目的实际含义是什么。这就要求同学们在复习时多注意一下基本概念。
依据2013考研数学新大纲以及历年真题来看，线性代数的重难点如下：
一、行列式
行列式的性质、行列式按行（列）展开定理是重点，但不是难点。在行列式的计算题目中，尤其是抽象行列式的计算，常用到矩阵的相关知识，应提高对知识的综合运用能力。
二、矩阵
逆矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的秩是重点。逆矩阵的.计算，以及矩阵是否可逆的判定属于常考内容。矩阵的初等变换常以选择题形式出现。
三、向量
向量组的线性相关与线性无关是一个重点，要求掌握向量组线性相关、线性无关的性质及判别法，常以选择题、解答题形式出现。正交矩阵也可以作为一个重点掌握。考查最多的是xxx正交化法。
四、线性方程组
方程组解的讨论、待定参数的解的讨论问题是重点考查内容。掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。
五、矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值、特征向量的计算以及矩阵的对角化是重点。对于抽象矩阵，要会用定义求解；对于具体矩阵，一般通过特征方程 求特征值，再利用 求特征向量。相似对角化要掌握对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别。
六、二次型
这部分需要掌握两点：一是用正交变换和配方法化二次型为标准形，重点是正交变换法。需要注意的是对于有多重特征值时，解方程组所得的对应的特征向量可能不一定正交，这时要正交规范化。二是二次型的正定性，掌握判定正定性的方法。
线代性质总结 第2篇
全排列 把 n 个不同的元素xxx一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列。
例如, \{ 5, 3, 4, 2, 1 \} 是一个排列。
全排列的个数 记 P_{n} 为 n 个元素的全排列的个数，则有
P_{n} = n! \\
排列数 记 P_{n}^{m} 为从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的全排列的个数，则有
P_{n}^{m} = A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!} \\
特别地，当 m=n 时， P_{n}^{m} = P_{n} 成立。
逆序 在全排列中，xxx一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成 1 个逆序。
逆序数 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。记排列 a_{n} 的逆序数为 t ，则有
t = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{i - 1}{[a_{i} < a_{j}]}} \\
奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动的操作叫做对换。特别地，将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。
对换定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
\bm{n} 阶行列式 设有 n^{2} 个数，xxx n 行 n 列的数表
\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \\
定义 n! 项代数和
D = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{t}\prod_{j = 1}^{n} a_{jp_{j}} \\
其中 p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} 为 n 的所有排列， t 为排列 p_{n} 的逆序数。则称上式为n 阶行列式，记作
D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\
简记作 \det(a_{ij}) ，其中 a_{ij} 为行列式 D 的 (i,j) 元。
上（下）三角行列式 主对角线以下（上）的元素都为 0 的行列式叫做上（下）三角行列式；特别地，除主对角线以外，其余元素都为 0 的行列式叫做对角行列式。
上（下）三角行列式和对角行列式满足
\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{n}{a_{ii}} \\ \begin{vmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{n}{\lambda_{i}} \\
性质1 行列式 D 与它的转置行列式 D^{T} 相等，即 \det(a_{ij}) = \det(a_{ji}) .
性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。
性质2推论 若行列式 D 存在两行（列）完全相同，则 D = 0 .
性质3 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式，即
D \xlongequal{r_{i} \times k}{} kD \\ D \xlongequal{c_{j} \times k}{} kD \\
性质4 若行列式 D 中存在两行（列）元素成比例，则 D = 0 .
性质5 若行列式 D 的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式 D 满足
\begin{align} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + a_{i1}^{\prime} & a_{i2} + a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in} + a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}^{\prime} & a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ \end{align} \\
性质6 把行列式 D 的某一行（列）的各元素的 k 倍加到另一行（列），行列式不变，即
D \xlongequal{r_{j} + kr_{i}}{} kD \\ D \xlongequal{c_{q} + kc_{p}}{} kD \\
分块（矩阵）行列式 设
D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & & \\ \vdots & & \vdots & & & & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} & \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} & \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{vmatrix} \\
D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} = AB \\
类似地，有
\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \\ \end{vmatrix} =AB \\
余子式 在 n 阶行列式中，把 a_{ij} 所在的行和列划去后，留下的 n-1 阶行列式叫做 a_{ij} 的余子式，记作 M_{ij} .
代数余子式 记
A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij} \\
则 A_{ij} 叫做 a_{ij} 的代数余子式。
行列式按行（列）展开法则 行列式 D 等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = \sum_{i = 1}^{n}a_{pi}A_{pi} = \sum_{i = 1}^{n}a_{iq}A_{iq} \\
Vandermonde行列式
D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \cdots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_{i} - x_{j}) \\
线代性质总结 第3篇
（1）如果一个矩阵所有的元素都为0，则称为零矩阵。（2）如果一个矩阵是n行n列，我们称为n阶方阵。（3）如果一个矩阵是方形矩阵，如果其矩阵的组对角线之外所有的元素都是0，则称该矩阵为n阶对角矩阵。或称为对角阵。
称A和B互为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数都一致。如果矩阵中的每一个元素都相等，则称矩阵相等。
内标决定相乘是否合法。矩阵之间要进行相乘，一定要两个矩阵的内标相同，即矩阵A的列标与矩阵B的行标相同。外标决定相乘之后矩阵的型。矩阵A与矩阵B相乘后，两个矩阵的外标，为结果矩阵C的型。即矩阵C有矩阵A的行数，有矩阵B的列数。
：① ②③④
那么
由代数余子式构成的矩阵，称为伴随矩阵。形如：
三个思考：①何为逆阵？②逆阵是否存在？③如何求逆阵？首先，可逆矩阵一定是方阵。
设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B使 或，则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。记A的逆矩阵为 。定理：n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时，。
①②③
④⑤③④ =
。
方法一：伴随矩阵法方法二：初等变换法
方程组的同解变形
矩阵的三种初等行变换
②
读法：列读：第3列的2倍加到第1列行读：第1行的2倍加到第3行
③
的求法例1 求A的逆矩阵：解： = 1 ≠0，故A可逆。
在中任取A中的r行，r列而成的r阶行列式，称为A的r阶子式() 。存在r阶子式不为0，对于r+1阶子式皆为零(不一定有r阶子式)，称r为A的秩，记作。①②③称A为非奇异矩阵。称A为满秩。④
形如这种阶梯式的行，个约束条件。①②③至少两行不成比例
①见到使用②这三种情况使用③，则见到AB,r(A),r(B)就使用以上性质。④则见则用该性质⑤(秩具有低随波性)⑥问到伴随矩阵，则可参考此分段情况
向量一般是列向量，向量的秩不超过1.向量与是不可乘的。但一个数，是可乘的矩阵两个向量相乘，左转右不转是个数。两个向量相乘，xxx转右转是个矩阵。
线代性质总结 第4篇
内积 设有 n 维向量
\bm x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix},~ \bm y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{pmatrix} \\
[\bm x,\bm y]=\sum_{i=1}^{n}x_iy_y \\
则称 [\bm x,\bm y] 为向量 \bm x 与 \bm y 的内积。
内积具有下列性质：
Cauchy-Schwarz不等式
[\bm x,\bm y]^2\leq[\bm x,\bm x][\bm y,\bm y] \\
向量的长度（2-范数） 令
\vert\vert\bm x\vert\vert=\sqrt{[\bm x,\bm x]}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \\
则称 \vert\vert\bm x\vert\vert 为向量 \bm x 的长度，又称2-范数。
夹角 令
\theta=\arctan{\frac{[\bm x,\bm y]}{\vert\vert\bm x\vert\vert\vert\cdot\vert\bm y\vert\vert}} \\
则称 \theta 为向量 \bm x 与 \bm y 的夹角。
正交 当 [\bm x,\bm y]=0 时，称向量 \bm x 与 \bm y 正交。
向量 \bm x 与 \bm y 正交时， \theta=0 .
正交矩阵 如果 n 阶矩阵 \bm A 满足
\bm A^\mathrm T\bm A=\bm E \\
\bm A^{-1}=\bm A^\mathrm T \\
则称矩阵 \bm A 为正交矩阵，简称正交阵。
特征值 设 \bm A 是 n 阶矩阵，如果数 \lambda 和 n xxx零列向量 \bm x 使
\bm{Ax}=\lambda\bm x \\
成立，则 \lambda 称为矩阵 \bm A 的特征值， \bm x 称为 \bm A 的对应于特征值 \lambda 的特征向量。
特征方程 方程 \bm{Ax}=\lambda\bm x 可写成
(\bm{A}-\lambda\bm E)\bm x=\bm 0 \\
它有非零解的充分必要条件是 |\bm{Ax}-\lambda\bm E|=0 ，即
\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \\
上式称为矩阵 \bm A 的特征方程。多项式 f(\lambda)=|\bm{A}-\lambda\bm E| 称为矩阵 \bm A 的特征多项式。矩阵 \bm A 的特征值就是该矩阵特征方程的解。
对于矩阵 \bm A 的 n 个特征值，满足：
相似矩阵 设 \bm A 、 \bm B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 \bm P ，使得
\bm P^{-1}\bm{AP}=\bm B \\
则称矩阵 \bm A 与 \bm B 相似，对 \bm A 进行 \bm P^{-1}\bm{AP} 运算称为对 \bm A 进行相似变换，可逆矩阵 \bm P 称为把 \bm A 变成 \bm B 的相似变换矩阵。
若矩阵 \bm A 与 \bm B 相似，则 \bm A 与 \bm B 的特征多项式相同，进而特征值也相同。
若 n 阶矩阵 \bm A 与对角矩阵
\bm\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n\\ \end{pmatrix} \\
相似，则 \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n 即是 \bm A 的 n 个特征值。
矩阵对角化 寻求相似变换矩阵 \bm P ，使得 \bm P^{-1}\bm{AP}=\bm\Lambda 为对角矩阵，这样的过程称为矩阵对角化。
n 阶矩阵 \bm A 能对角化的充分必要条件是 \bm A 有 n 个线性无关的特征向量。
定理 设 \bm A 为 n 阶对称矩阵， \lambda 是 \bm A 的特征方程的 k 重根，则矩阵 \bm A-\lambda\bm E 的秩 R(\bm A-\lambda\bm E)=n-k ，从而对应特征值 \lambda 恰有 k 个线性无关的特征向量。
二次型 含有 n 个变量 x_1,x_2,\cdots,x_n 的二次齐次函数
f=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \\
称为二次型。特别地，当 a_{ij} 为复数时， f 称为复二次型；当 a_{ij} 为实数时， f 称为实二次型。
标准型 对于二次型，若有可逆的线性变换
x_i=\sum_{k=1}^nc_{ik}y_k,~~1\leq k\in\mathbb Z\leq n \\
使二次型只含平方项，也就是说
f=\sum_{i=1}^nk_iy_i^2 \\
成立。这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）。
规范型 如果标准型的系数 k_i 满足
k_i\in\{-1,0,1\} \\
，则该标准型称为二次型的规范型。
二次型的矩阵 二次型
f=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \\
可写成
f= \begin{pmatrix} x1 & x2 & \cdots & x_n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} \\
\bm A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix},~~ \bm x= \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} \\
则二次型 f 可记作
f=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x \\
其中，对称矩阵 \bm A 称为二次型 f 的矩阵，二次型 f 称为对称矩阵 \bm A 的二次型。
合同 设 \bm A 和 \bm B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 \bm C ，使 \bm B=\bm C^\mathrm T\bm{AC} ，则称矩阵 \bm A 与 \bm B 合同。
惯性定理 设二次型 f=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x 的秩为 r ，且有两个可逆变换 \bm x=\bm{Cy} 及 \bm x=\bm{Pz} 使
f=\sum_{i=1}^rk_iy_i^2,~~k_i\ne0 \\
f=\sum_{i=1}^r\lambda_iz_i^2,~~\lambda_i\ne0 \\
则 k_1,\cdots,k_r 中正数的个数与 \lambda_1,\cdots,\lambda_r 中正数的个数相等。
正定二次型 设二次型 f(\bm x)=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x ，如果对 \forall \bm x\ne\bm 0 ，都有 f(\bm x)>0 ，则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 \bm A 是正定的；如果对 \forall \bm x\ne\bm 0 ，都有 f(\bm x)<0 ，则称 f 为负定二次型，并称对称矩阵 \bm A 是负定的。
Hurwitz定理 对称矩阵 \bm A 为正定的充分必要条件是 \bm A 的各阶主子式都为正；对称矩阵 \bm A 为负定的充分必要条件是 \bm A 的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。
线代性质总结 第5篇
如果是对角矩阵，则
A，B为n阶阵，若存在可逆阵P，使得称A,B合同，记为
一、配方法（不常用）二、正交变换法（必考）①②③④⑤
如果对于所有的，则称A为正定矩阵。提供两种方法：方法一：定义法方法二：特征值法一个二次型的矩阵要使二次型正定，该矩阵的各阶顺序主子式的行列式应大于0。例：若二次型是正定的，那么t应满足？解：由题可知二次型矩阵为,要使其二次型正定，所以所以，当t时，二次型正定。
线代性质总结 第6篇
1.矩阵 A 与 B 行等价的 充分必要条件是 存在 m 阶可逆矩阵 P ，使PA=B，记作
2.矩阵 A 与 B 列等价的 充分必要条件是 存在 n 阶可逆矩阵 Q ，使AQ=B，记作
线代性质总结 第7篇
《线性代数》学习心得800字
个人简介
xxx，中山大学国际金融学院级本科生，在《线性代数》的课程学习中获得了第一名的好成绩。
作为理科生，数学是极为重要，大学的专业也和数学密切相关，可偏偏数学却是我致命的弱项，在学好数学的路上付出了很多，也有所收获，但也仅仅只是皮毛。在这里分享我的经验，希望大家有所收获。
一开始学习线代时，便感觉到线代不同于高等数学的地方，在于它几乎从一开始就是一个全新的概念。其研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间，而是上升到n维空间，并且在线性代数的学习过程中，我们几乎都是跟一些新的概念，新的定理打交道，因此理解和记忆起来有相当大的困难，常常是花很久的时间还是理解不了。因此需要课前预习，上课紧跟老师讲解，下课练习课后习题以助更好的'理解掌握。
线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量。这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此，学习线性代数时应能够熟练地从一种理论的叙述转移到另一种中去。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性。由此可见，掌握矩阵、方程组和向量的内在联系十分重要。
线代的概念多，比如对于矩阵，有对角矩阵、伴随矩阵、逆矩阵、相似矩阵等。运算法则多，比如求逆矩阵，求矩阵的秩，求向量组的秩，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解等。内容相互纵横交错，在学到后面的知识点时常常出现需要和前面的知识点的应用，但经常记不起来，就需要不断地复习前面的知识点。要能够做到当题干给出一个信息时必须能够想到该信息等价的其他信息，比如告诉你一个矩阵是非奇异矩阵，它包含的信息有：首先明确它是一个n阶方阵，它的秩是n,它便是满秩矩阵，它所对应的n阶行列式不等于零，xxx个n维向量便线性无关，还有这个方阵是可逆方阵， 并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的。
正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，线性代数题的综合性与灵活性较大。因此课本的课后习题要多加练习。万变不离其宗，把握套路，老师也不会太为难我们，基本是在课后题上变形。
数学之路或艰辛，或顺利，四时之景或不同，而乐亦无穷也。数学之乐，得之心而寓之学也。祝大家都能找到适合自己的学习方法，在数学的探索中体味乐趣！